2024/04/23 更新

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トミザワ シンヤ
富沢 真也
Tomizawa Shinya
所属
大学院工学研究科 物質工学分野 数理物理学研究室 教授   
学位
博士(理学) ( 東京工業大学 )
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連絡先
メールアドレス

研究分野

  • 自然科学一般 / 素粒子、原子核、宇宙線、宇宙物理にする理論

主な研究論文

  • Construction and application of variations on the cylindrical gravitational waves of Weber, Wheeler, and Bonnor

    T. Mishima, S. Tomizawa

    Physical Review D   96 ( 2 )   024023   2017年

    Supersymmetric black lenses in five dimensions

    S. Tomizawa, M. Nozawa

    Physical Review D   94 ( 4 )   044037   2016年

    New approach to solution generation using SL(2,R)-duality of a dimensionally reduced space in five-dimensional minimal supergravity and new black holes

    S. Mizoguchi, S. Tomizawa

    Physical Review D   84   104009   2011年

    Uniqueness theorem for charged rotating black holes in five-dimensional minimal supergravity

    S. Tomizawa, Y. Yasui, A. Ishibashi

    Physical Review D   79   124023   2009年

    Topology Change of Coalescing Black Holes on Eguchi-Hanson Space

    H. Ishihara, M. Kimura, S. Tomizawa

    Classical and Quantum Gravity   23   L89   2006年

経歴

  • 豊田工業大学   数理物理学研究室   教授

    2020年4月 - 現在

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    国名:日本国

  • 東京工科大学   准教授

    2014年4月 - 2020年3月

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    国名:日本国

  • 茨城大学   准教授

    2012年4月 - 2014年3月

      詳細

    国名:日本国

  • 高エネルギー加速器研究機構   素粒子原子核研究所   博士研究員

    2011年7月 - 2012年3月

      詳細

    国名:日本国

  • 高エネルギー加速器研究機構   素粒子原子核研究所   科研費研究員

    2011年4月 - 2011年6月

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    国名:日本国

  • ケンブリッジ大学   応用数学・理論物理学研究所(DAMTP)   客員研究員(若手研究者海外派遣事業)

    2010年8月 - 2010年10月

  • 高エネルギー加速器研究機構   素粒子原子核研究所   日本学術振興会特別研究員

    2008年4月 - 2011年3月

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    国名:日本国

  • 大阪市立大学   研究員

    2005年4月 - 2008年3月

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    国名:日本国

  • 京都大学   基礎物理学研究所   アトム型研究員

    2004年10月 - 2004年12月

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学歴

  • 東京工業大学   大学院理工学研究科   基礎物理学専攻

    2002年4月 - 2005年3月

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    国名: 日本国

  • 東京工業大学   理工学研究科   基礎物理学専攻

    2000年4月 - 2002年3月

  • 東京工業大学   理学部   物理学科

    1996年4月 - 2000年3月

所属学協会

  • 素粒子論ブループ

    2010年4月 - 現在

  • 理論天文学宇宙物理学懇談会

    2005年4月 - 現在

  • 日本物理学会

    2003年4月 - 現在

  • 一般相対論と重力グループ(JGRG)

    2003年4月 - 現在

委員歴

  • 日本物理学会 大学の物理教育編集委員会   委員  

    2021年4月 - 2022年3月   

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    団体区分:学協会

  • 日本物理学会 Jr. セッション   第 1 次審査審査員  

    2021年1月 - 2021年3月   

  • 愛知大学 昇格人事審査委員会   外部委員  

    2020年10月 - 2020年11月   

  • 日本物理学会 大学の物理教育編集委員会   副委員長  

    2020年4月 - 2021年3月   

      詳細

    団体区分:学協会

  • 日本物理学会 Jr. セッション   第 1 次審査審査員  

    2020年1月 - 2020年3月   

  • 日本学術振興会 卓越研究員候補者選考委員会   書面審査員  

    2019年7月 - 2020年6月   

  • 日本学術振興会 国際事業委員会   書面審査員・書面評価員  

    2019年7月 - 2020年6月   

  • 日本学術振興会 特別研究員等審査会   専門委員  

    2019年7月 - 2020年5月   

      詳細

    https://www.jsps.go.jp/file/storage/general/j-pd/data/senmon_hyosholist/2019manryousenmon.pdf

  • 日本物理学会 刊行委員会   委員  

    2019年4月 - 2020年3月   

  • 日本物理学会 大学の物理教育編集委員会   委員長  

    2019年4月 - 2020年3月   

      詳細

    団体区分:学協会

  • 日本物理学会 Jr. セッション   第 1 次審査審査員  

    2019年1月 - 2019年3月   

  • 東邦大学医療センター 大森病院倫理委員会   外部委員  

    2018年4月 - 2020年3月   

  • 日本物理学会 大学の物理教育編集委員会   副委員長  

    2018年4月 - 2019年3月   

      詳細

    団体区分:学協会

  • 茨城大学大学院理工学研究科 博士 (理学) 学位論文等審査委員会   外部委員  

    2018年1月 - 2019年3月   

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研究テーマ

  • 疑似ブラックホール

    富沢 真也, 鈴木 良拓

    2022年度 - 現在

     詳細

    ブラックホールとは、そこから何も出て来ることができない宇宙の領域のことである。ところが、この何も出てこないブラックホールの古典的描像は、量子論を考えると大きく変わる。ブラックホールは、その周りで、量子効果による粒子生成によりプランク分布に従う熱的放射(ホーキング輻射)をして最終的には蒸発するという驚きの性質を持っている。しかし、宇宙にあるブラックホールの輻射はあまりにも微弱であるため観測することは不可能だと考えられている。そのため、ホーキング輻射の観測のためブラックホールと似た振る舞いをする流体ブラックホールが近年世界中で盛んに研究されてきた。なぜなら、流体中の音の伝搬とブラックホール時空の光の伝搬はよく似ていて流体ブラックホールは実験室で作れるからである。本研究室でも、ホーキング輻射だけではなく、ブラックホールに関わる物理現象を実験室で検証することを目標に、様々なタイプの流体ブラックホールのモデルを考案している。

    成果:

    2022年度
    We proposed a new simple model of acoustic black hole in a thin tube, where the difference in the gravitational potential is used to create a transonic flow. The main merit of our transonic flow model is that the Euler equations can be solved analytically. In fact, we obtained an exact solution to the equation in terms of a height function in the monatomic case. For a more general case, we found that it takes a simple form by the near-sonic approximation. Moreover, we obtained two analytic solutions describing a backward wave and a forward wave, from which we confirmed the existence of sonic horizons.

  • 量子ブラックホール

    富沢 真也, 鈴木 良拓

    2022年度 - 現在

     詳細

    ペンローズによって証明された「特異点定理」によると、宇宙には必ずどこかに特異点が存在する。この特異点とは、時空の曲率が無限大になり一般相対性理論が破綻する点である。それは、例えば、ブラックホールの内部や宇宙の始まった瞬間に存在すると考えられている。このような点の近傍を記述するためには量子重力が必要だと考えられているが、現時点では未完成の理論である。将来的に量子重力理論が完成すれば、このような特異性は解消されると期待されている。量子重力理論の完成には長い年月がかかるので、量子重力のブラックホールの候補として「特異点のないブラックホール(non-singular black hole, regular black hole)」のモデルを考える研究が世界的に盛んに行われている。本研究室では、観測と整合的な「特異点のないブラックホールモデル」の性質を研究している。

    成果:

    2022年度
    We have investigated the bound orbits of massive/massless, neutral particles and photons moving around regular black holes of Fan and Wang. For massive particles, we have shown the existence of stable/unstable circular orbits and the charge dependence of the radius of the innermost stable circular orbit. Remarkably, we found an unstable circular orbit of photons inside the event horizon. For massless particles and photons, we have shown that both stable and unstable circular orbits can exist in a regular and horizonless spacetime with a slight overcharge. Then, we also discussed the periapsis shift of massive neutral particles orbiting around the black hole, and showed that the charge gives a negative correction to the shift for black holes with small nonlinearity of electrodynamics.

  • 高次元極限法を用いたEinstein-Gauss-Bonnet理論におけるブラックホールの理論的研究

    富沢 真也, 鈴木 良拓

    2021年度 - 現在

     詳細

     Einsteinの一般相対性理論を拡張したEinstein-Gauss-Bonnet理論におけるブラックホール解を高次元極限法を用いて、理論的に解析する。特にこれまで解析が数値解や摂動解などに限られていた回転ブラックホール解の1/D展開を用いた解析解の導出および安定性解析などを行う。

    成果:

    2022年度
    The phase and stability of black strings in the Einstein-Gauss-Bonnet (EGB) theory are investigated by using the large D effective theory approach. The spacetime metric and thermodynamics are derived up to the next-to-leading order (NLO) in the 1/D expansion. We found that the entropy current defined by the Iyer-Wald formula follows the second law. As in the Einstein theory, the entropy difference from the total mass produces an entropy functional for the effective theory. Including the NLO correction, we found that for the large Gauss-Bonnet coupling constant, the Gregory-Laflamme instability of uniform black strings needs longer wavelength. Moreover, we showed that the critical dimension, beyond which non-uiform black strings becomes more stable than uniform ones, increases as α becomes large, and approaches to a finite value for α→∞.

  • 微視的幾何学の測地的安定性

    富沢 真也

    2021年度 - 現在

     詳細

     近年、超重力理論の解であるMicrostate geometryが、近似的にブラックホールの幾何学的構造を記述することから、ブラックホールの情報損失問題の解決という観点から世界的に注目されている.しかし、こうした解が、現実の宇宙にあるブラックホールを記述するかどうかは、現時点で不明である.これを明らかにするため、Microstate geometryの古典的な物理的性質(安定性、熱力学、光や粒子の挙動、重力レンズ効果、重力波放射、ホーキング輻射など)について解析を行っている.

    成果:

    2022年度
    We showed the existence of stable bound orbits for the massive and massless particles moving in the simplest microstate geometry spacetime in the bosonic sector of the five-dimensional minimal supergravity. In our analysis, reducing the motion of particles to a two-dimensional potential problem, we numerically investigated whether the potential has a negative local minimum.

  • アインシュタインマックスウェル理論における非線形重力波

    富沢 真也

    2020年度 - 現在

     詳細

     LIGOによる重力波の発見によって、現代物理学の新しい時代の扉が開かれた.特に、重力波の基礎的性質の解明はその分野の研究の基盤として重要である.本研究では、重力波のモード間あるいは電磁波‐重力波間の強い転換現象の解析を行った.今後、天体現象における重力波の発生において、電磁波‐重力波の強相関的現象も考慮されなければないため、そのような解析の礎となるだろう.さらに、ブラックホール研究で開発された方法を非線形重力波の解析に応用し、重力ファラデー効果や重力波の非線形現象の研究も行っている.

    成果:

    2022年度
    Applying a simple harmonic map method to the cylindrically symmetric Einstein-Maxwell system, we obtained exact solutions representing strong nonlinear interaction between gravitational waves and electromagnetic waves in the case without any background field. As an interesting fact, we showed that with adjusted parameters the solution represents occurrences of large conversion phenomena in the intense region of fields near the cylindrically symmetric axis.

  • 5次元最小超重力理論における超対称ブラックレンズの特性

    富沢 真也, 鈴木 良拓

    2020年度 - 現在

     詳細

     この20年余りの研究成果から、高次元ブラックホールの多様な構造が明らかになりつつある.4次元の真空な定常時空においては、ブラックホールのトポロジーは球面だけに制限され、そのようなブラックホールを記述する解は、質量と角運動量というパラメーターだけで特徴付けられる「カーブラックホール解」が唯一つの解であることが数学的に証明されている.これはブラックホールの「一意性定理」と呼ばれ、4次元の一般相対性理論の最も大きな成果の1つと言える.これとは対照的に、高次元理論では、許されるブラックホールのトポロジーは球面1つだけではない.実際に、5次元時空の漸近平坦な真空解として、同じ質量と角運動量を持つが、トポロジーの異なる2つの解、球面のブラックホール解とリング形状のブラックリング解、そしてレンズ空間のブラックレンズ解が発見されたのである[Tomizawa and Nozawa(2016)].本研究では、特にブラックレンズに着目し、ブラックホールとは異なる物理的特性を明らかすることを試みる.

    成果:

    2022年度
    Applying the inverse scattering method to static and bi-axisymmetric Einstein equations, we constructed a non-rotating black lens inside a bubble of nothing whose horizon is topologically lens space of L(n;1). Using this solution, we discussed whether a static black lens can be in equilibrium by the force balance between the expansion and gravitational attraction.

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論文

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MISC

  • 26pSL-1 新しい円筒対称重力波ソリトン解の新奇な特性

    三島 隆, 富沢 真也

    日本物理学会講演概要集   70.2   370   2015年 (     eISSN:2189-0803 )

     詳細

    記述言語:日本語   出版者・発行元:一般社団法人 日本物理学会  

    DOI: 10.11316/jpsgaiyo.70.2.0_370

  • New solution-generation-techniques using SL(2, R)-duality and general black holes

    Shinya Tomizawa, Shun’ya Mizoguchi

    The 13th Marcel Grossmann Meeting: On Recent Developments in Theoretical and Experimental General Relativity, Astrophysics and Relativistic Field Theories - Proceedings of the MG13 Meeting on General Relativity, 2012   ( 210699 )   1327 - 1329   2015年

     詳細

    記述言語:英語   掲載種別:記事・総説・解説・論説等(国際会議プロシーディングズ)   出版者・発行元:World Scientific  

    The dimensional reduction of (the bosonic sector of) five-dimensional minimal supergravity to four dimensions leads to a theory with a massless axion and a dilaton coupled to gravity and two U(1) gauge fields (one of which has Chern-Simons coupling), whose field equations have SL(2, R) invariance. Utilizing this SL(2, R)-duality in the dimensionally reduced spacetime, we provide a new formalism for solution generation. Using the SL(2, R)-duality, we construct general Kaluza-Klein black hole solutions which carry six independent charges, its mass, angular momentum along four dimensions, electric and magnetic charges of the Maxwell fields in addition to Kaluza-Klein electric and magnetic monopole charges.

    DOI: 10.1142/9789814623995_0162

  • 24aZW-11 歪んだGodel宇宙内の回転多体ブラックホール(宇宙物理,宇宙線・宇宙物理領域)

    松野 研, 石原 秀樹, 富沢 真也, 中川 利治

    日本物理学会講演概要集   63.1.1   109   2008年 (     eISSN:2189-0803 )

     詳細

    記述言語:日本語   出版者・発行元:一般社団法人 日本物理学会  

    DOI: 10.11316/jpsgaiyo.63.1.1.0_109_4

  • 23pZH-2 Eguchi-Hanson空間上の回転ブラックホールの合体(23pZH 宇宙物理,宇宙線・宇宙物理領域)

    松野 研, 石原 秀樹, 富沢 真也, 木村 匡志

    日本物理学会講演概要集   62.2.1   112   2007年 (     eISSN:2189-0803 )

     詳細

    記述言語:日本語   出版者・発行元:一般社団法人 日本物理学会  

    DOI: 10.11316/jpsgaiyo.62.2.1.0_112_4

  • 21pSG-2 Kaluza-Kleinブラックホールの質量(21pSG 宇宙物理,宇宙線・宇宙物理領域)

    松野 研, 石原 秀樹, 富沢 真也, 木村 匡志

    日本物理学会講演概要集   61.2.1   63   2006年 (     eISSN:2189-0803 )

     詳細

    記述言語:日本語   出版者・発行元:一般社団法人 日本物理学会  

    DOI: 10.11316/jpsgaiyo.61.2.1.0_63_2

  • 22aTF-6 量子状態空間の幾何

    古池 達彦, 細谷 暁夫, 富沢 真也, 澤山 晋太郎

    日本物理学会講演概要集   58.2.2   131   2003年 (     eISSN:2189-0803 )

     詳細

    記述言語:日本語   出版者・発行元:一般社団法人 日本物理学会  

    DOI: 10.11316/jpsgaiyo.58.2.2.0_131_2

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講演・口頭発表等

  • 特異点のないブラックホール周りの粒子や光の軌道

    磯村健心, 富沢真也, 鈴木良拓

    日本物理学会2023年春季大会  ( オンライン )   2023年3月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • 流体ブラックホールの単純模型の提案

    津田廉, 富沢真也, 鈴木良拓

    日本物理学会2023年春季大会  ( オンライン )   2023年3月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Melvinの磁場付宇宙を伝播する重力波・電磁波の振舞いについて

    三島隆, 富沢真也

    日本物理学会2023年春季大会  ( オンライン )   2023年3月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Static Equilibrium of Black Holes inside Expanding Bubble of Nothing

    富沢真也, 鈴木良拓, 三島隆

    日本物理学会2023年春季大会  ( オンライン )   2023年3月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Phase and stability of Einstein-Gauss-Bonnet black strings at large D

    Ryotaku Suzuki, Shinya Tomizawa

    日本物理学会2023年春季大会  ( オンライン )   2023年3月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Effective geometry of regular black holes and photon sphere 招待

    The 5th workshop on "Mathematics and Physics in General Relativity"  ( 大阪公立大学 )   2023年3月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(招待・特別)  

  • 円筒対称重力波・電磁波転換現象からの一つの予想

    三島隆, 富沢真也

    第23回特異点研究会 「特異点と時空、および関連する物理」  ( イールーム名駅前 A名古屋(名古屋大学) )   2022年12月  名古屋大学

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Particle motion around regular black holes

    富沢真也, 鈴木良拓, 磯村謙心

    第23回特異点研究会「特異点と時空、および関連する物理」  ( イールーム名駅前 A名古屋(名古屋大学) )   2022年12月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Gauss-Bonnet black strings at large D 国際会議

    鈴木良拓, 富沢真也

    第23回特異点研究会「特異点と時空、および関連する物理」  ( イールーム名駅前 A名古屋(名古屋大学) )   2022年12月  特異点研究会

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • 流体ブラックホールの単純模型の提案

    津田廉, 富沢真也, 鈴木良拓

    第23回特異点研究会「特異点と時空、および関連する物理」  ( イールーム名駅前 A名古屋(名古屋大学) )   2022年12月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Stable bound orbits around higher dimensional black holes and microstate geometry

    Shinya Tomizawa, Takahisa Igata*

    茨城大学・東京工業大学素粒子研究室合同研究会2022  ( オンライン )   2022年12月  茨城大学・東京工業大学素粒子研究室合同研究会

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • 流体ブラックホールの単純模型の提案

    津田廉*, 富沢真也

    茨城大学・東京工業大学素粒子研究室合同研究会2022  ( オンライン )   2022年12月  茨城大学・東京工業大学素粒子研究室合同研究会

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Rotating black holes at large D in Einstein-Gauss-Bonnet theory 国際会議

    The 31st Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG31)  ( The University of Tokyo )   2022年10月  Japan Society of General Relativity and Gravitation (JGRG)

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Mode conversion phenomena of the Einstein-Maxwell system in the cylindrically symmetric spacetime by full nonlinearity 国際会議

    The 31st Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG31)  ( 東京大学 )   2022年10月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • A Proposal for Simple Model of Acoustic Black Hole 国際会議

    The 31st Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG31)  ( 東京大学 )   2022年10月 

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    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Stable bound orbits around static Einstein-Gauss-Bonnet black holes

    Ryotaku Suzuki, Tomizawa Shinya

    日本物理学会2022年秋季大会  ( 岡山理科大学 )   2022年9月  日本物理学会

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    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Rotating black holes at large D in Einstein-Gauss-Bonnet theory

    Ryotaku Suzuki, Tomizawa Shinya

    日本物理学会2022年秋季大会  ( 岡山理科大学 )   2022年9月  日本物理学会

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    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Stable bound orbits around Einstein-Gauss-Bonnet black holes 国際会議

    23rd International Conference on General Relativity and Gravitation (GR23)  ( オンライン )   2022年8月  The International Society on General Relativity and Gravitation

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    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Squashed black holes at large D

    鈴木良拓, 富沢真也

    日本物理学会第77回年次大会  ( オンライン )   2022年3月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Squashed black holes at large D

    鈴木良拓, 富沢真也

    第22回「特異点と時空、および関連する物理」研究会  ( オンライン )   2021年12月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • 円筒対称時空解を用いた電磁波重力波の転換現象

    三島隆, 富沢真也

    第22回「特異点と時空、および関連する物理」研究会  ( オンライン )   2021年12月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Squashed black holes at large D 国際会議

    The 30th Workshop on General Relativity and Gravitation in Japan  ( Online )   2021年12月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Nonlinear behavior of new cylindrically symmetric waves of Einstein-Maxwell system 国際会議

    The 30th Workshop on General Relativity and Gravitation in Japan  ( Online )   2021年12月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Angular momenta in microstate geometries and black holes in five dimensions 国際会議

    The 30th Workshop on General Relativity and Gravitation in Japan  ( Online )   2021年12月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Einstein-Maxwell方程式系の新しい円筒対称波解の解析

    三島隆, 富沢真也

    日本物理学会2021年秋季大会  ( オンライン )   2021年9月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • Stable bound orbits around five-dimensional black holes 招待

    Shinya Tomizawa

    The 4th workshop on "Mathematics and Physics in General Relativity"  ( Online )   2021年3月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(招待・特別)  

  • ブラックレンズの安定束縛軌道について

    富沢真也, 伊形尚久

    日本物理学会 第76回年次大会  ( オンライン )   2021年3月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • 調和写像によるEinstein-Maxwell系の新しい円筒対称波解の生成

    三島隆, 富沢真也

    日本物理学会 第76回年次大会  ( オンライン )   2021年3月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(一般)  

  • ブラックレンズとその性質 招待

    富沢真也

    名古屋大学多弦数理物理学セミナー  ( オンライン )   2020年10月 

     詳細

    会議種別:口頭発表(招待・特別)  

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受賞

  • Research highlights of 2006/2007,

    2007年   Classical and Quantum Gravity,   Topology change of coalescing black holes on Eguchi-Hanson space,

科学研究費補助金

担当科目(学内) ※授業フィードバックは学内ネットワークからのみ閲覧可能です。

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教育内容・方法の工夫

  • 教育内容・方法の工夫

     詳細

    数学のそれぞれの理論体系が何を目的としているのか、どのように応用がされているのか、という大枠を把握してもらうことを心がけた。物理的なイメージがしやすいように、応用の側面に焦点を当てて、授業を構成した。
    ・フーリエ解析の授業では、工学などで現れる微分方程式への応用例を中心に解説した。
    ・ベクトル解析の授業では、電磁気学における応用を意識させるため、多くの電磁気学を題材にした例題を扱った。
    ・線形代数2の授業では、単なる数理的・抽象的枠組みではなく、固有値問題の工学や物理学における応用例を中心に授業を構成した。

作成した教材

  • 作成した教科書、教材、参考書

     詳細

    毎回配布する講義資料は、(要点をまとめただけでなく)学生が授業中に書き込めるように作成した。
    特に、ipadなどの端末で講義資料を読む受講者と印刷して読む受講者のために2種類のpdfファイルを作成した。
    また、授業時間外に学生が復習や予習をしやすくするため、講義資料は、教科書の行間を埋める形で一つ一つの式変形を丁寧に記述した。さらに、教員が授業中に書き込んだファイルをclassroomにアップロードして学生が閲覧できるようにした。毎回授業では、classroomの選択式問題を利用して、授業内容の理解を確認するための演習問題を課題として提出させた。